نظام الإحداثيات الديكارتية (إحداثيات ديكارتية، بالفرنسية: les coordonnées cartésiennes) هو نظام الإحداثيات الديكارتية ونظام الإحداثيات المائل بشكل جماعي.

خطان يتقاطعان عند نقطة الأصل محور الأعداد ، تشكّل نظام الإحداثيات المستوي الإشعاعي. وإذا كانت وحدات القياس على المحورين متساوية، يُسمّى نظام الإحداثيات الإشعاعي بنظام الإحداثيات الديكارتي. أما نظام الإحداثيات الديكارتي الذي يكون فيه المحوران متعامدين على بعضهما البعض، فيُطلق عليه اسم الديكارتي الزاوية اليمنى نظام إحداثيات، يُعرف أيضًا بنظام إحداثيات ديكارتي مائل.

الاسم الصيني: نظام الإحداثيات الديكارتية

الاسم الأجنبي: الإحداثيات الديكارتية

المجال: الرياضيات

التفسير: نظام الإحداثيات الديكارتي ونظام الإحداثيات المائلان معاً

السمة: نوع من أنظمة الإحداثيات الشعاعية

التعميم: نظام الإحداثيات الديكارتية المكانية

 

مقدمة إلى نظام الإحداثيات

نظام الإحداثيات الديكارتية هو نظام الإحداثيات الديكارتية ونظام الإحداثيات المائل بشكل جماعي. محوران عدديان يتقاطعان عند نقطة الأصل، مشكّلين مستوى إشعاعيًا نظام الإحداثيات . إذا كانت وحدات القياس على المحورين متساوية، يُسمّى نظام الإحداثيات القطبي نظام الإحداثيات الديكارتي. ويُطلق على نظام الإحداثيات الديكارتي ذي محورين متعامدين اسم «نظام الإحداثيات الديكارتي المتعامد»، وإلا فيُسمّى «نظام الإحداثيات الديكارتي المائل». وتجدر الإشارة إلى ضرورة مقارنة نظام الإحداثيات الديكارتي في الرياضيات بالفيلم 《 مصفوفة قتل ذات أبعاد مختلفة التعريف الوارد في الفيلم يختلف عن ذلك في الرياضيات، لذا يرجى عدم الخلط بينهما.

يتكوّن نظام الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد من محورين متعامدين يتقاطعان عند نقطة الصفر. في المستوى، تُحدَّد إحداثيات أي نقطة استنادًا إلى إحداثيات النقطة المقابلة لها على المحور العددي. وفي المستوى، تشبه العلاقة بين كل نقطة وإحداثياتها تلك الموجودة بين النقاط والإحداثيات على المحور العددي. وباستخدام الإحداثيات الديكارتية، تمكّن كوي من دراسة الأشكال الهندسية. الجبر الصيغة مُعبَّر عنها بوضوح. يجب أن تلتزم الإحداثيات الديكارتية لكل نقطة في الشكل الهندسي بهذه الصيغة الجبرية.

نظام الإحداثيات الديكارتي نظام الإحداثيات ثنائي الأبعاد

يُحدَّد نظام الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد عادةً بواسطة محورين إحداثيين متعامدين، يُشار إليهما غالبًا بمحور السينات.

والمحور ص؛ نقطة تقاطع المحورين الإحداثيين، وتُسمّى الأصل ، يُرمز عادةً إلى المحور الأفقي بالحرف O، وهو ما يعني في الوقت نفسه «صفر» والحرف الأول من كلمة «الأصل» باللغة الإنجليزية. يشير كل محور إلى اتجاه محدد. تُحدِّد محاور الإحداثيات لهذه الخطين المختلفين مستوىً يُسمّى المستوى xy، ويُعرف أيضاً باسم المستوى الديكارتي. وعادةً، طالما أن المحورين متعامدان على بعضهما البعض، فإن اتجاههما لا يؤثر في حل المسألة؛ لكن من المعتاد (انظر الشكل إلى اليمين) وضع المحور السيني أفقياً، ويُسمّى المحور الأفقي، ويشير عادةً نحو اليمين؛ أما المحور الصادي فيُوضع عمودياً ويُسمّى المحور الرأسي، ويشير عادةً نحو الأعلى. وتُسمّى هذه العلاقة المكانية بين المحورين بـ«ثنائية الأبعاد». نظام إحداثيات يدوي اليمين أو اليد اليمنى. إذا رُسمت هذه اليد اليمنى على قطعة من الورق الشفاف، فستظل في المستوى على أي حال. تدوير يُطلق على النظام المُحصل عليه اسم «النظام اليدوي الأيمن»؛ أما إذا قُلِّب الورق، فإن نظام الإحداثيات الظاهر على الوجه الخلفي يُسمّى «النظام اليدوي الأيسر». ويرتبط ذلك بطبيعة اليسار واليمين عند النظر في المرآة.

لمعرفة المسافة من نقطة الأصل عند أي نقطة على المحور الإحداثي. لنفترض أنه يمكن تمثيل القيم على المحاور. إذن، انطلاقًا من نقطة الأصل، وباتجاه المحور، تُمثَّل كل وحدة طولية أخرى بقيمة مكتوبة على المحور. هذه القيمة هي عدد المرات التي تمثل فيها الوحدة، وهي أيضًا قيمة موجبة بالنسبة لنقطة الأصل. عدد صحيح المسافة؛ وبالمثل، مع أخذ الاتجاه الذي يشير إليه محور الإحداثيات في الاعتبار، يمكننا أيضًا تمثيل المسافة السالبة التي تُقاس من نقطة الأصل. يُسمّى القيمة الممثلة على المحور السيني بالإحداثي السيني، ويُعرف أيضًا بالمحور السيني، أما القيمة الممثلة على المحور الصادي فتُسمّى بالإحداثي الصادي، ويُعرف أيضًا بالمحور الصادي. الإحداثيات ، ويُسمى أيضًا الصادر . على الرغم من أن كلا الإحداثيين هنا عددان صحيحان، يمثّلان نقاطًا محددة على محور الإحداثيات. وبشكل عام، يمكننا التعميم عدد حقيقي الإحداثيات وكل نقطة على محور الإحداثيات التي تتوافق معها. هاتان الإحداثيتان هما الإحداثيات الديكارتية، ويرمز لهما بـ (x,y).

يُعبَّر عن موضع أي نقطة P في المستوى Kowey بشكل فريد باستخدام الإحداثيات الديكارتية. فقط من النقطة p

ارسم خطًا عموديًا على المحور السيني. من نقطة تقاطع هذا الخط مع المحور السيني، تُستخرج الإحداثية السينية للنقطة P التي وجدها كوي. وبالمثل، تُستخرج الإحداثية الصادية للنقطة P التي وجدها كوي. وبهذه الطريقة، يمكننا الحصول على الإحداثيات الديكارتية للنقطة P.

يمكن أيضًا توسيع نظام الإحداثيات الديكارتية الفضاء ثلاثي الأبعاد (ثلاثة أبعاد) و فضاء عالي الأبعاد (بعد أعلى) .

تقسّم المحوران في نظام الإحداثيات الديكارتية المستوى إلى أربعة أجزاء، تُسمّى الربع ، على التوالي. الأرقام الرومانية الأول، الثاني، الثالث، الرابع. وبحسب الاتفاقية، تكون إحداثيات الربع الأول موجبة كلاهما؛ وإحداثي السين في الربع الثاني سالب وإحداثي الصاد موجب؛ وإحداثيات الربع الثالث سالبة كلاهما؛ وإحداثي السين في الربع الرابع موجب وإحداثي الصاد سالب. لذلك تُرَمَّز الأرباع عكس اتجاه عقارب الساعة، بدءًا من الربع الأول وصولًا إلى الربع الرابع.

نظام الإحداثيات الديكارتية، نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد

امتداد مستوى نظام الإحداثيات الشعاعية ونظام الإحداثيات الديكارتية إلى الفضاء: تشكّل ثلاثة محاور عددية غير مستوية، تتقاطع عند نقطة الأصل، نظام الإحداثيات الشعاعية للفضاء. ويُسمّى نظام الإحداثيات الشعاعية الذي تتساوى فيه وحدات القياس على المحاور الثلاثة بنظام الإحداثيات الديكارتية الفضائي. أما نظام الإحداثيات الديكارتية الذي تكون فيه المحاور الثلاثة متعامدةً على بعضها البعض فيُسمّى نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة الفضائي، وإلا فيُسمّى نظام الإحداثيات الديكارتية المائل الفضائي.

نظام الإحداثيات الديكارتية الفراغية

من أجل التواصل الفضاء في دراسة الرسومات والأرقام، يتعين علينا تحديد فضاء النقاط والترتيب.

يتم تحقيق الربط بين المصفوفات من خلال إدخال نظام إحداثيات ديكارتي ثلاثي الأبعاد. فعلى نقطة ثابتة O، تُرسم ثلاثة محاور عددية متعامدة على بعضها البعض، يتخذ كل منها النقطة O كمنشأ، وغالبًا ما تكون ذات نفس وحدة الطول تُسمّى المحاور الثلاثة بمحور السينات ( المحور الأفقي )، المحور ص (المحور العمودي)، المحور ع (المحور العمودي)؛ مجتمعًا محور الإحداثيات . عادةً ما يُرتب المحور السيني والمحور الصادي على مستوى أفقي، بينما يكون المحور العيني عموديًا؛ وهم الاتجاه الإيجابي للتوافق مع قاعدة اليد اليمنى، أي لوضع المحور z باليد اليمنى، عندما تدور أصابع اليد اليمنى الأربعة من المحور السيني الموجب إلى المحور الصادي الموجب بزاوية قدرها π/2، يشير الإبهام نحو الاتجاه الموجب للمحور z، بحيث تشكّل المحاور الثلاثة نظام الإحداثيات الديكارتية الفراغية تُسمّى النقطة O بالأصل الإحداثي. وهذا يشكّل إحداثيات ديكارتية.

في نظام الإحداثيات الديكارتي ثلاثي الأبعاد، تُقسَّم الفضاء الثلاثي الأبعاد إلى ثمانية أجزاء بواسطة ثلاثة مستويات: مستوى xy، ومستوى yz، ومستوى xz، وتُسمّى هذه الأجزاء غوأ ليميت (الثُّمْن) فارغ. إن الإحداثيات الثلاثة لكل نقطة من حدود القرعة الأولى هي قيم موجبة.

عملية توليد نظام الإحداثيات الديكارتية

يُقال إنه في أحد الأيام، كان هناك فيلسوف ورياضياتي فرنسي ديكارت كان مريضًا في فراشه ومصابًا بمرض خطير، لكنه مع ذلك ظل يتأمل سؤالًا مرارًا وتكرارًا: الهندسة هي بديهية، والمعادلات الجبرية أكثر تجريدًا، فهل يمكن للهندسة و معادلة جبرية من أجل تحقيق هذا الهدف، يكمن السر في كيفية ربط النقاط التي تشكّل الهندسة وكل مجموعة من «الأعداد» التي تحقق المعادلة. فكر بجد وحاول جاهدًا أن يكتشف كيف يربط بين «النقاط» و«الأعداد». وفجأة، لمح عنكبوتًا على زاوية السطح، يسحب خيطه إلى الأسفل، وبعد قليل، صعد العنكبوت مجددًا على الخيط، يمدّه يمينًا ويسارًا فوق السطح. أضاءت «أداء» العنكبوت سلسلة أفكار ديكارت فجأة، ففكّر: يمكن اعتبار العنكبوت نقطةً؛ فهو يستطيع التحرّك صعودًا وهبوطًا ويسارًا ويمينًا داخل الغرفة، فهل يمكن استخدام كلٍّ من هذه الحركات لتمثيل كل وضعية للعنكبوت؟ عدد المجموعات وماذا عن اليقين؟ فكر مرة أخرى: فالجداران المتجاوران للمنزل والأرض تشكّلان ثلاثة خطوط، وإذا اتخذت زاوية الجدار على الأرض نقطة انطلاق، فاعتبر تلك الخطوط الثلاثة المعطاة كثلاثة. محور الأعداد ثم إن وضع أي نقطة في الفضاء يُحدَّد باستخدام ثلاثة أعداد متتالية على محاور الأعداد الثلاثة هذه. ومن ناحية أخرى، يمكن لأي مجموعة معينة من ثلاثة أعداد متتالية أن تحدد بدورها نقطة P في الفضاء تتوافق معها. وبالمثل، يمكن لمجموعة من العددين (X، Y) أن تمثّل نقطةً على المستوى، كما يمكن أيضًا تمثيل نقطةٍ على المستوى بمجموعة من عددين متتاليين. وهذا هو الشكل الأولي لنظام الإحداثيات.

نظام الإحداثيات الديكارتية إن إنشاء الجبر والهندسة لبناء جسرٍ بينهما يجعل المفهوم الهندسي يُعبَّر عنه بالأعداد، كما يمكن للشكل الهندسي أن يُعبَّر عنه بصيغة جبرية. وهكذا أرسى ديكارت نظام الإحداثيات الديكارتية استنادًا إلى هذا التأسيس واستخدامه. الجبر لدراسة الفرع الرياضي من الهندسة، وهو الهندسة التحليلية، تخيّل بجرأة أنه إذا نُظر إلى الهندسة باعتبارها مسار حركة نقاط متحركة، فإن الهندسة التي يراها كاووي تتكون من نقاط تتمتع بخصائص مشتركة. على سبيل المثال، يمكننا اعتبار الدائرة بأنها مجموعة من النقاط التي تبعد مسافةً متساويةً عن نقطة ثابتة. مسار النقطة إذا عدنا إلى التفكير في النقاط باعتبارها العناصر الأساسية التي تكوّن الهندسة، والأعداد باعتبارها المكوّنات حل المعادلة إذن الجبر والهندسة هما أخوان في عائلة واحدة.

ملاحظات

في ورقة «الهندسة» الواردة في ملحق كتاب «الطرق»، شرح ديكارت المبادئ الأساسية للهندسة التحليلية وابتكر نظام الإحداثيات الديكارتي.

قبل ديكارت، كانت الهندسة والجبر علمين منفصلين؛ إذ كانت الهندسة تُعنى بالأشكال والرسومات، بينما كان الجبر يهتم بالأعداد. لم يرضَ ديكارت عن الطابع التجريدي للدراسات المنفصلة لكلٍّ من هذين العلمين، فسعى إلى الربط بينهما وجعلهما ملموسين. ومن خلال طريقة ترقيم النقاط باستخدام نظام الإحداثيات التي ابتكرها، وبدراسة متعمقة للمتغيرات، أثبت أن المسائل الهندسية يمكن تقليصها إلى مسائل جبرية، وأن جميع الأساليب الجبرية تُستخدم لحلها. ومنذ ذلك الحين، أُدخلت المتغيرات في الرياضيات، مما شكّل نقطة تحول في تطوّرها وأتاح الظروف اللازمة لظهور التفاضل والتكامل. ويُستخدم نظام الإحداثيات الديكارتي على نطاق واسع في مجالات التقانة الهندسية والفيزياء. .

رابط المصدر: https://baike.baidu.com/item/نظام_الإحداثيات_ديكارتي/4522878?fr=aladdin